Die Kovarianz, auch Stichprobenvarianz oder empirische Varianz genannt, beschreibt den Zusammenhang zweier metrischer Variablen. Das Maß ist nicht standardisiert, so dass sich die Kovarianz nur bedingt vergleichen lässt. Beispielsweise kann ein Zusammenhang zwischen Entfernung und Dauer vom Wohn- zum Arbeitsort ermittelt werden.
Kovarianz definieren
Die Kovarianz berechnen bedeutet, einen linearen Zusammenhang zweier Variablen herzustellen. Wenn beide Variablen dieselbe Richtung einschlagen, erhältst du ein positives Vorzeichen. Erhöht sich der Wert einer Variablen, steigt auch der Wert der anderen.Kovarianz berechnen
Im folgenden Beispiel werden bei sechs Personen die Daten der Entfernung zwischen ihrem Wohn- und Arbeitsort und der Dauer ihres Arbeitsweges ermittelt.- Person 1 2 3 4 5 6
- Entfernung Wohnort und Arbeitsplatz in km 16 4 44 12 26 35
- Dauer des Arbeitsweges in min 23 9 52 32 24 34
Die Kovarianz berechnen im Beispiel der Tabelle ergibt einen positiven Zusammenhang zwischen den Variablen Entfernung und Dauer. Zur konkreten Aussage musst du nach der Umwandlung in einen Korrelationskoeffizienten eine Korrelation aus der Kovarianz berechnen.
Formel der Kovarianz
Die Kovarianz berechnen Formel:n gesamte Anzahl der Beobachtungen
xi Beobachtungswert der Variablen x
x̄ Variable x im arithmetischen Mittelwert
yi Beobachtungswert der Variable y
Variable y im arithmetischen MittelwertPlagiatsbericht schnell anfragen
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Anhand der Formel ist erkennbar, dass die Kovarianz den Zusammenhang zwischen zwei Zufallsvariablen misst.
- positiver Wert = positiver Zusammenhang
- überdurchschnittlicher Wert einer Zufallsvariablen = tendenziell überdurchschnittliche Werte der anderen Zufallsvariablen
- negative Kovarianz = negativer Zusammenhang
- Kovarianz null = kein linearer Zusammenhang zwischen zwei Zufallsvariablen
Beispiel der Kovarianz
- Person 1 2 3 4 5 6
- Entfernung Wohnort und Arbeitsplatz in km 16 4 44 12 26 35
- Dauer des Arbeitsweges in min 23 9 52 32 24 34
1) jeweils arithmetisches Mittel berechnen
X = Entfernung Wohnung zum Arbeitsplatz = 16 +4 + 44 +12 +26 35 / 6 = 22,83
Y = Dauer des Arbeitswegs = 23 + 9 + 52 + 32 + 24 + 34 / 6 = 29
2) Abweichungen der Ergebnisse der arithmetischen Mittel: X1 – X und Y1 – Y
Person 1: 16 km Entfernung – 22,83 (Mittelwert) = -6,83
Person 1: 23 Minuten Dauer – 29,00 (Mittelwert) = -6,00
Person 2:.....etc.
3) Das Produkt aus den Werten der Abweichungen bestimmen: (X1 – X) * (Y1 – Y)
Person 1: -6,83 * -6,00 = 40,98 etc.
4) Die Summe aus den Produkten von 3 bilden
40,98 + Person 2 + Person 3 + Person 4 = ….
5) Wenn du nun die empirische Kovarianz berechnen möchtest, multiplizierst du die Ergebnisse aus 4) mit 1 / n-1. Optional kannst du die Kovarianz online berechnen oder die Kovarianz berechnen mit Excel. Letztlich kannst du die Kovarianz aus der Standardabweichung berechnen.
Kovarianz interpretieren
Bei einem positiven Wert steigt eine Variable, ggf. auch die andere. Ein negatives Vorzeichen gibt die Steigung einer Variablen und gleichzeitiges Sinken der anderen an. Im Beispiel hat die Kovarianz Statistik berechnen gezeigt, dass die Variable „Entfernung“ und das damit auch bei der Variablen „Dauer“ der Fall ist.Positive vs. negative Kovarianz
Das Vorzeichen bestimmt die Richtung des Zusammenhangs.
- positiv - positiver linearer Zusammenhang zwischen X und Y
- negativ - Werte von Y eher niedrig
Kovarianz von Korrelation unterscheiden
Für konkrete Aussagen sollte die Kovarianz nach dieser Formel in einen Korrelationskoeffizienten umgewandelt werden.sx Standardabweichung Variable x
sy Standardabweichung Variable y
r Korrelation
Am Ende können wir unter Angabe der Richtung eine verlässliche Kovarianz aus der Korrelation berechnen.
Kovarianz in Excel bestimmen
Wenn du die Kovarianz in Excel berechnen möchtest, gehst du so vor:- Schreibe KOVARIANZ oder COVARIANCE und gib in den Klammern die entsprechenden Werte an.
- Im Beispiel waren das „Dauer“ und „Entfernung“, in den Klammern fügst du C3:J3;C4:J4 ein.
