Standardfehler des Mittelwertes richtig berechnen

Was ist der Standardfehler?

Der Standardfehler ist relevant für Berechnungen, die mit einer variierenden Messgröße arbeiten. Soll zum Beispiel berechnet werden, welche Lebensunterhaltskosten deutsche Studenten im asiatischen Ausland aufbringen müssen, lässt sich dieser Wert durch Stichproben ermitteln und auf die Grundgesamtheit aufrechnen. 

Die Grundgesamtheit benennt alle deutschen Studenten, die im asiatischen Ausland studieren. Die tatsächlich aufzubringenden Lebensunterhaltskosten sind für jeden Einzelnen anders. Anhand einer Stichprobe lässt sich ein Mittelwert errechnen. Die Anzahl der Stichproben ist jedoch begrenzt. Werden die Daten von 100 Studenten erfasst, wird der Mittelwert dieser Stichprobe vom Mittelwert aller Studenten (Grundgesamtheit) abweichen. Diese Abweichung wird als der Standardfehler benannt.

Unterschied von Standardfehler und Standardabweichung

Wissenschaftliche Arbeiten gegen entweder den Mittelwert und den Standardfehler oder den Mittelwert und die Standardabweichung an. Sehr selten sind alle drei Berechnungsdaten zu finden. Die Standardfehler und Standardabweichungen sind dabei zwei unterschiedliche Statistikwerte.

Über den Standardfehler wird angegeben, welche Abweichung der Mittelwert einer Stichprobe wahrscheinlich vom Mittelwert der Grundgesamtheit aufweist. Über die Standardabweichung wird jedoch ermittelt, welche Abweichung innerhalb der Stichprobe besteht – wie weit sind die einzelnen Stichproben vom tatsächlichen Mittelwert aller Stichproben entfernt.

Somit lassen sich die Angaben zum Standardfehler und Standardwert nicht gegeneinander austauschen. Aber eine Änderung der Werte beeinflusst jeweils den anderen Wert. 

Der Standardfehler des Mittelwertes am Beispiel erklärt

Durch eine Berechnung soll ermittelt werden, welche Unterhaltskosten deutsche Studierende im asiatischen Ausland aufbringen müssen. Dafür wurden die Daten von insgesamt 10 Studierenden gesammelt. 
 

Student	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Unterhaltskosten	800	770	655	1050	980	1010	725	850	950	960

Diese 10 Studierenden geben gemeinsam pro Monat 8.750 Euro aus. Wird dieser Wert durch 100 geteilt, und somit durch die Anzahl der Stichproben, erhält man einen Mittelwert von 875 Euro pro Monat, pro Person. 

In einer zweiten Stichprobe mit anderen Studenten könnte der Mittelwert höher oder niedriger liegen. Diese Abweichung wird als Standardfehler benannt. Dafür lässt sich ein präziser Wert berechnen.

Den Standardfehler des Mittelwertes berechnen und interpretieren

Die Berechnung der Standardabweichung wird durch die vorliegenden Grunddaten bestimmt. Abhängig von den vorhandenen Daten verläuft die Berechnung daher anders:
 

Mittelwert und Standardabweichung der Grundgesamtheit sind gegeben

Sind sowohl der Mittelwert als auch die Standardabweichung der Grundgesamtheit bekannt, kommt die folgende Formel zum Einsatz: Da es eher selten ist, dass Mittelwert und Standardabweichung bereits bekannt sind, kommt diese Formel eher selten zum Einsatz.

Mittelwert und Standardabweichung der Grundgesamtheit sind nicht gegeben

In der Regel sind der Mittelwert und die Standardabweichung nicht bekannt. In diesem Fall kommt es zu einer Schätzung des Standardfehlers. Nach der Berechnung des Wertes muss dieser im Kontext interpretiert werden. Dabei ist es wichtig, zu wissen, dass die Abweichung geringer wird, umso größer die Stichprobe ist. Für die Interpretation ist es wichtig, anzugeben, wenn es sich um eine Schätzung handelt. Also immer dann, wenn die Werte für den Mittelwert und die Standardabweichung der Grundgesamtheit nicht vorliegen.

Interpretation des Ergebnisses

Der Standardfehler gibt einen Hinweis auf die Qualität des geschätzten Parameters. Je mehr Einzelwerte vorhanden sind, desto kleiner ist der Standardfehler und desto genauer kann ein unbekannter Parameter geschätzt werden. Der Standardfehler macht die gemessene Varianz (Standardabweichung) zweier Datensätze mit unterschiedlichem Stichprobenumfang vergleichbar, indem er die Standardabweichung auf den Stichprobenumfang normiert.

Den Standardfehler in Excel berechnen 

Excel bietet leider keine fertige Formel für die Berechnung des Standardfehlers. Daher muss die Formel manuell eingegeben werden. Für die Berechnung des Standardfehlers in Excel lautet die Formel:

=STDEV(“ Zellenbereich”) /SQRT(count(“Zellenbereich”)) 

In den Klammern werden die Zellen benannt, welche die benötigten Werte beinhalten. Der Anfang und das Ende der Zellenbereiche werden dabei durch einen Doppelpunkt getrennt.   

Fazit

Die Berechnung des Standardfehlers ist für eine Vielzahl von wissenschaftlichen Abschlussarbeiten relevant. Es ist wichtig, den Standardfehler nicht mit der Standardabweichung zu verwechseln. Dank Excel ist es besonders leicht, den Standardfehler zu berechnen. Es bietet sich an, diese automatische Methode zu verwenden, um mögliche Flüchtigkeitsfehler zu vermeiden.