Standardfehler des Mittelwertes richtig berechnen

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Professor berechnet die Formel an die Tafel
Um Messproben für wissenschaftliche Arbeiten korrekt interpretieren zu können, muss der Standardfehler berücksichtigt werden. Er wird auch als SEM (standard error of the mean) oder Stichprobenfehler benannt. Er ist nicht gleichzusetzen mit der Standardabweichung.

Der Standardfehler gibt an, in welchem Umfang der Mittelwert einer begrenzenden Stichprobe vom Mittelwert der Gesamtheit abweicht. 


Was ist der Standardfehler?


Der Standardfehler ist relevant für Berechnungen, die mit einer variierenden Messgröße arbeiten. Soll zum Beispiel berechnet werden, welche Lebensunterhaltskosten deutsche Studenten im asiatischen Ausland aufbringen müssen, lässt sich dieser Wert durch Stichproben ermitteln und auf die Grundgesamtheit aufrechnen

Die Grundgesamtheit benennt alle deutschen Studenten, die im asiatischen Ausland studieren. Die tatsächlich aufzubringenden Lebensunterhaltskosten sind für jeden Einzelnen anders. Anhand einer Stichprobe lässt sich ein Mittelwert errechnen. Die Anzahl der Stichproben ist jedoch begrenzt. Werden die Daten von 100 Studenten erfasst, wird der Mittelwert dieser Stichprobe vom Mittelwert aller Studenten (Grundgesamtheit) abweichen. Diese Abweichung wird als der Standardfehler benannt.

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Unterschied von Standardfehler und Standardabweichung


Wissenschaftliche Arbeiten gegen entweder den Mittelwert und den Standardfehler oder den Mittelwert und die Standardabweichung an. Sehr selten sind alle drei Berechnungsdaten zu finden. Die Standardfehler und Standardabweichungen sind dabei zwei unterschiedliche Statistikwerte.

Über den Standardfehler wird angegeben, welche Abweichung der Mittelwert einer Stichprobe wahrscheinlich vom Mittelwert der Grundgesamtheit aufweist. Über die Standardabweichung wird jedoch ermittelt, welche Abweichung innerhalb der Stichprobe besteht – wie weit sind die einzelnen Stichproben vom tatsächlichen Mittelwert aller Stichproben entfernt.

Somit lassen sich die Angaben zum Standardfehler und Standardwert nicht gegeneinander austauschen. Aber eine Änderung der Werte beeinflusst jeweils den anderen Wert. 


Der Standardfehler des Mittelwertes am Beispiel erklärt


Durch eine Berechnung soll ermittelt werden, welche Unterhaltskosten deutsche Studierende im asiatischen Ausland aufbringen müssen. Dafür wurden die Daten von insgesamt 100 Studierenden gesammelt. 

Diese 100 Studierenden geben gemeinsam pro Monat 87.500 Euro aus. Wird dieser Wert durch 100 geteilt, und somit durch die Anzahl der Stichproben, erhält man einen Mittelwert von 875 Euro pro Monat, pro Person

In einer zweiten Stichprobe mit anderen Studenten könnte der Mittelwert höher oder niedriger liegen. Diese Abweichung wird als Standardfehler benannt. Dafür lässt sich ein präziser Wert berechnen.


Den Standardfehler des Mittelwertes berechnen und interpretieren


Die Berechnung der Standardabweichung wird durch die vorliegenden Grunddaten bestimmt. Abhängig von den vorhandenen Daten verläuft die Berechnung daher anders:
 

Mittelwert und Standardabweichung der Grundgesamtheit sind gegeben


Sind sowohl der Mittelwert als auch die Standardabweichung der Grundgesamtheit bekannt, kommt die folgende Formel zum Einsatz:
 
  • σ – Standardfehler
  • σ – Standardabweichung
  • nStichprobe
Da es eher selten ist, dass Mittelwert und Standardabweichung bereits bekannt sind, kommt diese Formel eher selten zum Einsatz.


Mittelwert und Standardabweichung der Grundgesamtheit sind nicht gegeben


In der Regel sind der Mittelwert und die Standardabweichung nicht bekannt. In diesem Fall kommt es zu einer Schätzung des Standardfehlers.
 
  • σ̂ – Standardfehler (geschätzt)
  • Sx – Standardabweichung
  • n – Stichprobe
Nach der Berechnung des Wertes muss dieser im Kontext interpretiert werden. Dabei ist es wichtig, zu wissen, dass die Abweichung geringer wird, umso größer die Stichprobe ist. Für die Interpretation ist es wichtig, anzugeben, wenn es sich um eine Schätzung handelt. Also immer dann, wenn die Werte für den Mittelwert und die Standardabweichung der Grundgesamtheit nicht vorliegen.


Den Standardfehler in Excel berechnen 


Excel bietet leider keine fertige Formel für die Berechnung des Standardfehlers. Daher muss die Formel manuell eingegeben werden. Für die Berechnung des Standardfehlers in Excel lautet die Formel:

=STDEV(“ Zellenbereich”) /SQRT(count(“Zellenbereich”)) 

In den Klammern werden die Zellen benannt, welche die benötigten Werte beinhalten. Der Anfang und das Ende der Zellenbereiche werden dabei durch einen Doppelpunkt getrennt. 
 

Fazit


Die Berechnung des Standardfehlers ist für eine Vielzahl von wissenschaftlichen Abschlussarbeiten relevant. Es ist wichtig, den Standardfehler nicht mit der Standardabweichung zu verwechseln. Dank Excel ist es besonders leicht, den Standardfehler zu berechnen. Es bietet sich an, diese automatische Methode zu verwenden, um mögliche Flüchtigkeitsfehler zu vermeiden.